Если пациенты и врач однополы, т.е. являются мужчинами, то надо задать ДВА раза один и то же вопрос всем одновременно — Ты мужчина? После первого раза останутся ответившие утвердительно ПЕРВЫЙ пациент и ВРАЧ (остальные, по условию, должны ответить НЕТ). После вторично заданного вопроса ПЕРВЫЙ пациент должен ответить НЕТ, а ВРАЧ — ДА. Так за два вопроса определяем врача.

Можно без вопросов узнать, кто из них врач: тот, кто носит белый халат.
Если серьезно, то версия первого ответившего красивая: нужно задать всего один вопрос, хотя бы и несколько раз.
Но по условиям задачи мы ведь не знаем, кто является первым, вторым и т.д. пациентом, и в какой последовательности они отвечают. Поэтому, если в первом туре вторым отвечающим окажется врач, то третий пациент на вопрос о мужчине также ответит «ДА» и перейдет во второй тур. Во втором туре третий пациент будет одним из трех и тоже неизвестно, после кого отвечает. Поэтому может оказаться, что третий пациент и врач останутся в третьем туре вдвоем и, продолжая задавать этот же вопрос, мы не узнаем, кто из них врач.
Разве не так?

Предлагаю следующее решение.
Допущение: задавать можно только вопросы, на которые можно ответить «ДА» или «НЕТ».
Первый вопрос: «Вы пациент?» Этим вопросом исключаем первого (говорит правду через раз) и пятого (говорит «ДА») пациента. Если повезет и третий пациент (повторяет, что сказал предыдущий) будет отвечать после первого и пятого, то третий пациент тоже выбывает.
Второй вопрос: «Вы врач?» Этим вопросом исключаем четвертого пациента (отвечает «НЕТ»). Если третий пациент (повторяет за предыдущим) не выбыл после первого вопроса и отвечал после четвертого, то он тоже выбывает.
Третий вопрос: «Вы живы?» Этим вопросом исключаем второго пациента (всегда лжет).
После третьего вопроса остались врач, либо врач и третий пациент (если он отвечал после врача и ответил «ДА»).
Если оставшихся двое, то четвертый вопрос: «Вы мертвы?».
Тот, кто первым ответит «НЕТ» — врач.
Объяснение: Если первым отвечать будет третий пациент, то он повторит ответ на предыдущий вопрос «ДА» и выдаст себя.
Если третий пациент будет отвечать вторым, то врач на этот вопрос первым ответит «НЕТ».
Получается три или четыре вопроса.

Но можно укоротить вариант при том же допущении, поменяв вопросы местами.
Первый вопрос: «Вы живы?». Этим вопросом исключаем второго пациента (всегда лжет), четвертого пациента (всегда говорит «НЕТ»). Если третий пациент (повторяет ответ предыдущего отвечавшего) отвечал после второго или четвертого, то он тоже выбывает.
Второй вопрос: «Вы мертвы?» Этим вопросом исключаем первого пациента (на второй раз говорит неправду), и пятого пациента (всегда говорит «ДА»). Если третий пациент не выбыл после первого вопроса и отвечал после первого или пятого пациента, то он тоже выбывает.
После двух вопросов остались врач, либо врач и третий пациент (при условии, что на предыдущий вопрос третий пациент ответил «НЕТ»).
Если оставшихся двое, то третий вопрос: «Вы врач?».
Тот, кто первым ответит «ДА», тот врач.
Объяснение: Если первым отвечать будет третий пациент, то он повторит свой ответ на предыдущий вопрос и выдаст себя, сказав «НЕТ».
Если третий пациент будет отвечать вторым, то врач на этот вопрос первым ответит «ДА».
Получается два или три вопроса.