Решение работает только если все до одного монахи изначально осведомлены о наличии среди них определённого количества заболевших, при этом болезнь не должна распространяться. Но узнать все сразу они не могут. Монастырская жизнь уединённая и донести это известие некому. Если заболел один — о существовании болезни узнают N-1 монахов. Если не заболеет больше никто и болезнь не будет распространяться, то этот монах так и останется жить со всеми остальными пока не выздоровеет или не умрёт.
Предлагаю следующее решение(учитывающее распространение болезни), при условии того, что один монах в один момент времени может заражать только одного человека, и лишь после того, как у того проявятся симптомы болезни может начать заражать другого.

Итак: Если первый монах заражает второго, то теперь все узнают, что есть больные, но первый и второй будут заблуждаться касательно количества. Все, кроме первых двух монахов заметят периодичность(иначе говоря время t) с которой появляются новые больные, делая поправку на то, что количество больных(если никто не уезжает лечиться) растёт в геометрической прогрессии по степени двойки(сначала 1 больной, то есть 2^0, затем 2, затем 4(двое за t заразят вдвое больше чем 1 за t), затем 8 и т.д.). Тогда третий монах через 2t видит, что заболевших трое, а не четверо(как должно быть, если он здоров) и едет лечиться вместе с четвёртым, который следует той же логике. Остаются двое больных монахов и N-2 здоровых. Далее появляются двое новых заболевших(пятый и шестой), и монах заболевший вторым из первой (в хронологическом отношении) пары больных замечает, что время заражения этой пары вдвое меньше чем уехавшей пары(так как по его наблюдениям с момента заболевания первого, до момента заболевания третьего и четвёртого прошло 2t, хотя на самом деле t времени понадобилось ему, чтобы заболеть и ещё t, чтобы вместе с первым заразить двух следующих).Тогда он понимает, что он тоже болен, и едет в госпиталь. В монастыре остаётся 1 больной. Через время t этот больной видит, что появился новый больной, но нет никого, кто мог бы его заразить, тогда первый монах делает вывод, что это он всему виной, и собирается уезжать вместе с новым заболевшим, седьмым по счёту, который отметив, что через время t никто не заболел, понял, что заболел он. В итоге в монастыре совсем не остаётся больных. И происходит это через 1 год по условию задачи.

А значит, за целый год уехало семеро больных, а в последний день, через год после начала событий — двое.

Два небольших уточнения:

1. Монахи знают лишь то, что один монах в один момент времени может заражать строго определённое количество народу(но для них неизвестное), и если он начал их заражать, то никто больше от него в монастыре не заразится, пока то количество, которое он заражает, не проявило симптомы болезни.

2. По поводу второго заболевшего монаха: Так как инкубационный период болезни измениться не мог, и так как монах знает, что разносчик заражает за какое-то время строго установленное количество народу, то теперь он понимает, что разносчик заражает не двух больных за 2t, а на самом деле одного за 1t, а значит, есть ещё заболевшие. Тогда он понимает, что он тоже болен, и едет в госпиталь вместе с пятым и шестым, которые следуя логике третьего и четвёртого прознали о своём недуге.

365