Математические загадки - 2009 натуральных чисел

Математические загадки: 2009 натуральных чисел
Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых четна.
Доказываем от противного. Предположим, что для любых двух соседних чисел их сумма будет нечетной. Это означает, что одно из них четное, а другое нечетное, т. е. четные и нечетные числа чередуются через одно.

Зафиксируем одно произвольное число. Пусть оно будет четным. Его сосед слева будет нечетным, левый сосед соседа будет опять четным и т.д. по цепочке придем опять к зафиксированному числу. Т.к. число переходов равно 2009 (нечетное), то зафиксированное должно быть оказаться нечетным, что невозможно.

Получаем противоречие, т. е. первоначальное предположение было неверным, и найдутся два соседних числа, сумма которых четна.